Công thức toán học Mêtric_Kerr

Mêtric Kerr[4][5] miêu tả hình học của không thời gian bao quanh vật thể khối lượng M quay với mômen động lượng J là

c 2 d τ 2 = ( 1 − r s r ρ 2 ) c 2 d t 2 − ρ 2 Δ d r 2 − ρ 2 d θ 2 − ( r 2 + α 2 + r s r α 2 ρ 2 sin 2 ⁡ θ ) sin 2 ⁡ θ   d ϕ 2 + 2 r s r α sin 2 ⁡ θ ρ 2 c d t d ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}=&\left(1-{\frac {r_{s}r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}\\&-\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{s}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}+{\frac {2r_{s}r\alpha \sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\,c\,dt\,d\phi \end{aligned}}}

 

 

 

 

(1)

với các tọa độ r , θ , ϕ {\displaystyle r,\theta ,\phi } tương ứng cho ký hiệu của hệ tọa độ cầu, và rs là bán kính Schwarzschild

r s = 2 G M c 2 {\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}

 

 

 

 

(2)

Các hệ số α, ρ và Δ cho bởi

α = J M c {\displaystyle \alpha ={\frac {J}{Mc}}}

 

 

 

 

(3)

ρ 2 = r 2 + α 2 cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }

 

 

 

 

(4)

Δ = r 2 − r s r + α 2 {\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}}

 

 

 

 

(5)

Trong giới hạn phi tương đối tính khi rs xấp xỉ bằng 0 (M khá nhỏ), mêtric Kerr trở thành mêtric trực giau trong hệ tọa độ phỏng cầu

c 2 d τ 2 = c 2 d t 2 − ρ 2 r 2 + α 2 d r 2 − ρ 2 d θ 2 − ( r 2 + α 2 ) sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 {\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}+\alpha ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}

 

 

 

 

(6)

hay tương đương với hệ tọa độ Boyer-Lindquist[6]

x = r 2 + α 2 sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\displaystyle {x}={\sqrt {r^{2}+\alpha ^{2}}}\sin \theta \cos \phi }

 

 

 

 

(7)

y = r 2 + α 2 sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ {\displaystyle {y}={\sqrt {r^{2}+\alpha ^{2}}}\sin \theta \sin \phi }

 

 

 

 

(8)

z = r cos ⁡ θ {\displaystyle {z}=r\cos \theta }

 

 

 

 

(9)